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매듭 이론 - 그림으로 쉽게 배우는 수학
신조 레이코.다나카 코코로 지음, 권기태 옮김 / 성안당 / 2025년 9월
평점 :
'이 리뷰는 컬처블룸을 통해 출판사에서 도서를 제공 받아, 직접 읽고 작성한 리뷰입니다.'
수학이 밝혀낸 매듭과 고리의 비밀
책을 선택한 이유
매듭은 실이나 끈을 묶고 연결하는 방법이다.
아웃도어 활동에서 매듭을 잘 활용하면
단순한 끈도 훌륭한 도구로 변신한다.
야외 작업을 하거나 비상 상황에서도 매듭 을 이용하면
업무를 효율적으로 진행 할 수 있다.
단순해 보이는 매듭은 수학적 원리가 담겨 있다.
매듭 의 수학을 알아보기 위해 '매듭 이론"을 선택한다.
1장 매듭 에서는
매듭, knot는 매듭이나 매듭을 묶다를 의미하는 용어다.
실용적인 매듭뿐만 아니라 장식적인 매듭도 볼 수 있다.
우리 주변에서 많은 매듭을 발견할 수 있다.
고정 매듭으로는 풀려 있지만 옭 매듭으로 생각하면
묶여 있다고 볼 수 있다.
묶여 있다는 판단은 사람마다 다르기 때문에
명확히 하기 위해서는 통일된 기준이 필요하다.
매듭의 다이어그램 은 매듭을 평면상에 도식화한다.
수학은 제대로 약속하는 것이 필요하다.
언제 누가 하더라도 단순화하여 그릴 수 있도록 규칙을 정해 둘 필요가 있다.
2장 매듭 이론으로, 무엇을? 에서는
매듭은 하나의 끈을 묶고 끈의 양 끝을 연결하여 닫은 것을 의미한다.
묶이지 않은 고리를 수학에서는 매듭으로 간주한다.
끈을 묶지 않고 양 끝을 그대로 연결한 것은 자명 매듭이라고 부른다.
끈의 양 끝이 연결된 형태가 고리가 되는지 아닌지를 판단하는 일은 어렵다.
고리에 포합된 매듭 하나하나를 고리의 성분이라고 하며,
고리의 성분이 n개일 때 n성분 고리라고 한다.
성분끼리 교점이 없는 것도 고리이다.
모든 성분이 서로 교점이 없고, 모든 성분이 자명 매듭으로 되어 있는 것을
자명 고리라고 한다.
슬립 매듭, 이중 8자 매듭은 끈을 묶었을 뿐 끈이 닫혀 있지 않기 때문에
수학에서 말하는 매듭이 아니다.
실뜨기처럼 고리를 움직여 나가면서 같은 모양으로 만들어진 고리는
같은 고리라고 약속한다.
두 고리가 동일하다는 것은 한쪽을 3차원 공간 내에서 연속적으로
변형시켜 또 다른 쪽으로 변형시킬 수 있는 것을 말한다.
두 도형이 합동인 때에는 = 기호를 사용하고,
두 개의 고리가 공간 내에서 같은 모양이 될 수 있다는 것은
～기호를 사용하여 나타낸다.
두 고리가 다르다는 겉을 증명하기 위해서는 불변량을 사용한다.
두 고리가 같다는 것을 나타내는 경우도 방법은 마찬가지이다.
고리 목록은 끈이 가장 적게 겹치는 형태를 고려하여
고리를 단순한 것부터 나열한다.
3장 고리를 살펴보기 위해서는 에서는
끈으로 매듭을 만들어서 조사하는 것은 쉽지 않다.
고리의 다이어그램 은 고리를 노트 등에 그린 것이다.
고리의 투영도란 조건을 만족하도록 그려진 고리의 그림자다.
다중점이란 끈의 그림자가 겹치는 부분을 말하며,
n중점은 n개의 끈 그림자가 겹치는 점이다.
고리 투영도의 교점에 상하 정보를 제공한 것을
고리의 다이어그램 이라고 부른다.
다이어그램 의 교점은 다이어그램 에서 투영도의 교점에 해당하는 부분이다.
주어진 고리의 다이어그램 을 생각할 때는 가능한 한 교점이 적은
다이어그램 을 생각하는 경우가 많다.
무의미한 교점은 쉽게 제거할 수 있는 교점이다.
기약 다이어그램 은 무의미한 교점을 갖지 않는 고리의 다이어그램 이다.
다이어그램 이 교점 부분에서 끊어지지 않았다고 가정하면,
다이어그램 은 그려져 있는 평면을 몇개의 부분으로 분할한다.
여러 부분으로 나뉜 다이어그램 의 각각의 부분은
다이어그램 의 호라고 부른다.
다이어그램 의 면은 평면을 몇 개의 부분으로 분할한다.
원형 부분도 호의 일종으로 간주하여 원주 성분이라고 부르기로 한다.
다이어그램 이 원주 성분을 가지지 않는다면 교점의 수와 호의 수는 일치한다.
하나 이상 교점을 가진 매듭 다이어그램 의 면의 수는
다이어그램 의 교점의 수 +2가 된다.
공간 내에서 연속적으로 변형되어 서로 일치하지 않는 고리는 다른 고리이지만,
고리가 다른 것을 나타내는 것은 어려운 일이다.
4장 다양한 고리 에서는
옭 매듭, 구슬 매듭은 일상에서 흔히 볼 수 있는 매듭이다.
마디 매듭은 로프에 연속적으로 마디를 만드는 매듭이다.
8자 매듭은 옭 매듭보다 더 큰 고리를 만들 수 있는 매듭이며,
강도가 높고 풀기도 쉬워 활용도가 높다.
부둣가 매듭은 8자 매듭보다 더 큰 고리를 만들 수 있는 매듭이다.
날개 매듭, 전복 매듭은 풀기 어려우며, 양쪽 끝을 잡아당기면 더욱 단단히 묶인다.
맞매듭(스퀘어 매듭)은 단단히 조이면 풀기 어려운 매듭이다.
외과의사 매듭은 본매듭보다 강도가 높은 매듭을 얻을 수 있으며,
수술 시 결철에 사용된다.
세로 매듭(그래니 매듭)은 맞매듭을 묶을 때 끈의 위아래를 반드로 한다.
솔로몬의 매듭은 수학적으로는 2성분 고리로 분류된다.
보로메오 고리는 세 개의 고리가 서로 얽힌 형태의 고리다.
트위스트 매듭은 두 개의 끈을 한 번 꼬은 것을 하나의 단위로 하여
두 개의 끈이 꼬인 형태를 말한다.
끈 등으로 트위스트 매듭을 만들기 위해서는 양 끝을 서로 엇갈리게 걸 때
끈을 끊었다가 다시 연결하는 조작이 필요하다.
브루니안 고리는 임의의 1성분을 제거하면 자명 고리가 되는 비자명 고리다.
밀러 고리와 고무줄 연결 방법을 응용하여 브루니안 고리의 계열을 구성해 본다.
분리 가능한 고리는 각 성분이 서로 얽혀있는 것처럼 보이지만,
변형을 통해 포함된 고리끼리 서로 얽히지 않는 두 그룹으로 분리할 수 있다.
분리 평면은 공간 내의 평면이 고리를 여러 개의 고리로 나누게 할 수 있다.
두 성분을 나누는 평면에 평행한 평행면을 얻을 수 있으면 분리 가능한 고리임을 알 수 있다.
거울에 비친 고리를 실제 공간 내에 있는 고리로 간주한 것을
원래 고리의 거울상이라고 부른다.
고리의 거울상 다이어그램 은 고리 다이어그램 을 발전시켜 얻을 수 있다.
다이어그램 이 복잡해질수록 좌우 반전된 그림을 그리는 것이 번거로워진다.
고리 다이어그램 의 교점 위아래를 모두 바꿔서 얻어진 다이어그램이
나타내는 고리는 고리의 거울상 다이어그램 이 된다.
매듭이 양손형임을 증명하기 위해서는 거울상과 같은 모양을
만들 수 있는 것을 증명해야 한다.
만들고 싶은 마디의 개수만큼 꼬임을 만들어 한 번에 묶는 방법은
하나씩 마디 매듭을 만드는 것보다 효율적인 제작 방법이다.
합성 매듭은 두개의 매듭을 서로 연결하여 얻은 매듭이다.
합성 매듭은 고유하게 정해지지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다.
대응 가능한 구성법, 두 매듭의 다이어그램 을 모두 구할 수 있는
투영도 구성법이 있는지를 생각하는 것도 중요하다.
두 개의 매듭으로부터 합성 매듭을 얻는 작업을 매듭의 합성이라고 하고,
합성의 반대 작업을 분해라고 한다.
합성 매듭을 두 개의 비자명 매듭으로 나누는 구면을 분해 구면이라고 한다.
프라임 매듭은 매듭과 정확히 두 점이 교차하는 구면을 생각했을 때,
구면의 안쪽 부분의 끝점을 구면에서 연결하여 얻은 매듭과,
구면의 바깥쪽 부분의 끝점을 구면에서 연결하여 얻은 매듭 중
어느 한쪽이 자명 매듭이 되는 매듭을 말한다.
5장 그래프와 매듭 에서는
평면 그래프 는 평면 위에 몇 개의 점을 그리고 점들 사이를 연결하는
선을 끝점 이외에는 교차하지 않도록 그려서 얻을 수 있는 도형이다.
그래프 를 구성하는 점을 정점이라고 하고, 양 끝점을 포함한 선을 변이라 한다.
정점에서 나오는 변의 개수를 차수라고 하나다.
정점의 차수는 정점을 끝점으로 하는 변의 수와 반드시 일치하지 않는다.
그래프 의 면은 평면을 여러 영역으로 분할한 영역 하나하나다.
끝없이 퍼져나가는 무한면은 단 하나 뿐이다.
오일러 공식은 그래프 의 정점, 변, 면의 개수에 관한 항등식이다.
연결 그래프 는 그래프상의 어느 정점에서 시작해도
변을 따라 원하는 정점까지 도달할 수 있는 그래프 이다.
연결 그래프 가 아닌 그래프 를 비연결 그래프 라고 한다.
연결 그래프임을 증명하기 위해서는 모든 정점에서 자신을 제외한
모든 정점으로 이동할 수 있는 변의 열이 존재하는지 확인해야 한다.
비연결 그래프 는 연결 그래프 가 아닌 그래프 다.
비연결 그래프 를 구성하는 각각의 연결 그래프 를 연결 성분이라고 하고,
연결 성분의 개수를 연결 성분수라고 한다.
연결 그래프 에 대해서는 오일러 공식이 성립한다.
오일러 공식을 비연결 그래프 로 확장하면 비연결 그래프 는
등식을 만족하지 않는다는 결론을 내릴 수 있다.
교점이 없는 성분을 가진 고리 다이어그램 에 대해서는
성분에 차수 2의 정점 하나를 추가하여 그래프로 간주함으로써,
고리 다이어그램 과 그래프 사이에 일대일로 대응시킬 수 있다.
6장 그려진 고리를 변형하자Ⅰ 에서는
같다라는 단어는 모호하므로, 무엇을 기준으로 같다는 것을
명확하게 약속해야 한다.
합동인 두 도형은 한 도형을 움직여 다른 도형에 꼭 맞게 겹칠 수 있다.
수학적으로는 평행 이동, 회전 이동, 거울상 이동에 의해 겹쳐진다.
공간 내에서의 합동 변형은 고리의 위치를 바꾸는 조작에 대응하고,
닮음 변형은 고리의 위치를 바꾸거나 크기를 바꾸는 조작에 대응한다.
평면의 동위 변형은 도형을 평면이라는 형상을 유지한 채로
두 도형을 늘리거나 줄여서 변형하면서 똑같은 모양으로 만들 수 있다.
도형의 동위 변형은 도형의 변형을 크게 변화시킨다.
도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.
합동 변형에서 평행이동, 회전 변형은 실현할 수 있지만,
거울상이라는 조작은 실현할 수 없다.
완전히 겹치지는 않더라도 같은 것을 그린 것이므로
같은 것이라고 생각하는 편이 더 자연스러울 것이다.
평면의 동위 변형에 의해 서로 이동하는 다이어그램 도
같은 다이어그램 이라는 약속에 따라,
같은 다이어그램 을 가진 고리가 같은 고리라는 것이 성립한다.
고리의 다이어그램은 평면의 동위 변형에 의해 변형이 가능하다.
변형은 교점 부분이 실제로 끊어진 것으로 간주하고,
직선에 끼인 부분을 길게 늘리는 방식의 동위 변형이다.
상하 정보와 관계없이 늘리는 동위 변형을 한 후,
원래 다이어그램 의 상하 정보를 바탕으로 해당 교점에
상하 정보를 부여하는 것은 번거롭다.
동위 변형은 전체를 늘리거나 줄이는 변형만을 의미하는 것은 아니다.
동위는 두 도형의 한쪽을 동위 변형으로 변형하여,
다른 한쪽과 똑같은 모양으로 만들 수 있다.
선분은 동위 변형으로 축소할 수는 있지만 한 점으로 뭉쳐질 수는 없다.
도형의 동위 변형은 도형의 모양을 크게 변화시킨다.
도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.
약속은 매듭 이론을 연구하는 데 있어 사용하기 쉬운 것이어야 의미가 있다.
완전히 겹칠 수 있는 다이어그램 이나 평면의 동위 변형에 의해
서로 이동하는 다이어그램 도 같은 다이어그램 이라고 약속한다.
다이어그램 의 상하 정보를 바탕으로 해당 교점에 상하 정보를
부여하는 것은 번거롭다.
교점, 변, 면의 개수, 다이어그램 이 나타내는 고리는
평면의 동위 변형에 의한 고리 다이어그램 의 불변량이라고 할 수 있다.
평면의 동위 변형에 의해 서로 이동하지 않는 것을 나타낼 수 있다.
경계가 n개의 변으로 이루어진 면을 n변형이라 부른다.
알고 싶은 것에 따라 변하지 않는 양을 사용하는 것이 효율적인지 판단하는 것이 중요하다.
두 다이어그램 모두 교점을 줄여 같은 다이어그램 으로 변형하는 것이
두 다이어그램 이 같은 고리를 나타냄을 더 간단하게 증명할 수 있다.
고리가 주어지면 다양한 다이어그램 을 얻을 수 있다.
자명 다이어그램 은 교점이 없는 다이어그램이다.
교정이 있는 다이어그램 은 비자명 다이어그램이다.
교대 다이어그램 은 교점의 위아래를 번갈아 가며 지나가는 다이어그램 이다.
교대 매듭은 교대 다이어그램 을 가진 매듭이다.
교점에 상하 정보를 잘 제공하면 교대 다이어그램 을 얻을 수 있다.
7장 고리의 표를 만들자 에서는
고리의 복잡도는 다이어그램 을 사용하여 정의된다.
매듭의 복잡도를 비교하려면 가능한 한 교점이 적은
다이어그램 을 생각해야만 의미가 있다.
최소 교점수를 실현하는 다이어그램 의 교점수를
고리의 최소 교점수라고 부른다.
최소 교점수를 실현하는 다이어그램 은 교점수가 가장 적은
고리를 나타내는 다이어그램 이다.
최소 교점수가 무엇인지 이해하더라도 최소 교점수를
결정하는 것은 상당히 어렵다.
주어진 고리가 교점의 수가 n인 다이어그램 을 가진다면,
고리의 최소 교점수는 n 이하임을 알 수 있다.
자명 매듭의 최소 교점수는 0이다.
어느 끝점도 자기 자신 이외의 다른 끝점과 연결되지 않으면
매듭의 다이어그램 이 될 수 없다.
교점이 1개인 다이어그램 은 자명 매듭의 다이어그램뿐이다.
최소 교점수가 1과 2인 매듭은 존재하지 않는다.
세잎 매듭의 최소 교점수는 3이라고 판단할 수 있다.
교점의 수가 n개인 기약 교대 다이어그램 을 가진 매듭의
최소 교점수는 n이다.
매듭 다이어그램 이 기약 다이어그램 인지 아닌지는
다이어그램 을 보면 판단할 수 있다.
기약이 아닌 다이어그램 은 다이어그램 이 나타내는 매듭을
바꾸지 않고 기약 다이어그램 으로 변형할 수 있다.
기약이 아닌 다이어그램 이 교대 다이어그램 이었다면,
기약 다이어그램 이 되도록 교점을 줄여도 교대 다이어그램 의 특성을 유지한다.
8장 그려진 고리를 변형하자Ⅱ 에서는
고리 의 다이어그램 을 평면 도형으로 파악하여 변형해 나간다.
공간 내의 고리를 변형하는 것도 중요하지만,
고리의 다이어그램 을 변형하는 것이 중요하다.
다이어그램 이 아닌 것이 나타나면 곤란하므로,
고리의 변형을 그림으로 표현한다.
검은색 화살표로 연결된 두 다이어그램 은
같은 매듭을 나타내는 것이 보장된다.
동위 변형으로 이동하지 않는 다이어그램 을 관계짓기 위해서는
라이데마이스터 변형이라고 불리는 세 가지 변형이 있으면 충분하다.
라이데마이스터 변형은 동그라미로 둘러싸인 고리 다이어그램 일부를
다른 한쪽으로 대체하는 조작이다.
라이데마이스터 변형이 익숙해지기 전까지는
고리의 다이어그램 변형과 공간 내 고리의 변형을 혼동하기 쉽다.
같은 고리를 나타내는 다이어그램끼리 서로 관련지을 때,
평면의 동위 변형과 라이데아미스터 변형만 있으면 충분하다는 것을
보장하는 것이 라이데마이스터 정리 이다.
다이어그램 은 복잡해 보이지만 사실 자명 매듭을 나타낸다.
다이어그램 을 라이데마이스터 변형열을 통해 자명 매듭 다이어그램 으로 변형한다
교점의 수가 단조 감소하여 최종적으로 0이 되는 변형 열은 존재하지 않는다.
9장 고리의 지문 에서는
불변량이란 변하지 않는 양을 말한다.
수학에서의 불변량이란 수학적 대상에 대해 어떤 양이나 성질을 대응시킨 것을 말한다.
동일한 대상에 대해서는 동일한 양이나 성질이 대응해야 한다.
불변량을 이용하면 그룹으로 나누는 것이 가능해진다.
불변량을 조합하여 보다 세밀하게 분류할 수 있는 경우가 있으나,
불변량을 조합해도 분류가 세밀하게 되지 않은 경우도 있다.
좁은 의미의 강한 불변량, 좁은 의미의 약한 불변량,
넓은 의미의 강한 불변량, 넓은 의미의 약한 불변량이 있다.
불변량을 다루는 수학적 대상에 대해 생각할 때는
언제 같은 것으로 간주할 것인가를 정해야 한다.
똑같다고 간주하는 기준을 바꾸면 불변량이었던 것이
불변량이 아닐 수도 있다는 것을 알 수 있다.
고리의 불변량은 변형으로도 변하지 않는 고리에 관한 값이다.
연결 성분수가 다른 다이어그램 이라고 해서 다른 고리의 다이어그램 이라고
결론을 내릴 수 없다.
고리 다이어그램 의 연결 성분수는 고리의 불변량이 아니다.
연결 성분수란 다이어그램 을 그래프 로 간주했을 때의 연결 성분수를 말한다.
연결 성분수가 다른 다이어그램 이라고 해서 다른 고리의 다이어그램 이라고
결론을 내릴 수 없다.
고리의 불변량은 고리의 다이어그램 에 관한 값이
평면의 동위 변형으로 변화하지 않는 것이다.
10장 그 고리, 정말로 얽혀 있어? 에서는
간이 고리수는 2성분 고리에 0또는 1을 대응시키는 불변량이다.
간이 고리수는 2성분 고리의 다이어그램 으로부터 구할 수 있다.
호프 고리의 어떤 다이어그램 으로부터 간이 고리수를 구해도 값은 항상 1이다.
간이 고리수 등의 불변량을 구할 때는 다이어그램 을 잘 살펴보고,
줄일 수 있는 교점이 존재하는지 찾아보는 것이 좋다.
자명 2성분 고리와 화이테헤드 고리가 다른지의 여부는
간이 고리수로는 알 수 없다.
자명 다이어그램 은 각 성분을 2색으로 구분하여 칠해도
셀 수 있는 교점이 없기 때문에 간이 고리수는 0이다.
자명 2성분 고리와 호프 고리가 다르며, 호프 고리와 화이트헤드 고리가 다르다.
자명 2성분 고리와 화이트헤드 고리가 다른지의 여부는 간이 고리수로는 알 수 없다.
11장 매듭이 정말로 묶여 있을까? 에서는
다이어그램 의 각 호를 3색 중 하나로 채색한다.
각 교점 주변 세 개의 호에서, 모두 같은 색으로 칠하기,
서로 다른 세 가지 색으로 칠하기 중 하나를 만족할 때,
다이어그램 은 채색 조건을 만족한다.
고리의 3채색 가능성은 채색된 다이어그램 이 채색 조건을 만족하고,
다이어그램의 호가 모두 같은 색으로 칠해여 있지 않아야 한다는
두 가지 조건을 만족하면서 3색으로 칠할 수 없을 때를 말한다.
고리가 3채색 가능하다는 것은 고리가 3채색 가능한 다이어그램 을
가지고 있을 때를 말한다.
3채색 가능성은 고리를 3차색 가능한 고리와 불가능한 고리의
두 그룹으로 나뉘는 불변량으로 볼 수 있다.
구분하여 칠하는 방법을 찾을 때, 닥치는 대로 칠하며 조사하다 보면
빠뜨리는 경우가 생길 수 있다.
호프 고리, 8자 매듭, 자명 매듭, 호프 고리, 화이트헤드 고리는 3채색 불가능한 고리이다.
세잎 매듭, 자명 2성분 고리는 3채색 가능한 고리이다.
12장 불변성의 증명 에서는
간이 고리수의 불변량 증명을 위해서 중요한 역할을 하는 것이
라이데마이스터 정리이다.
평면의 동위 변형과 라이데마이스터 변형을 이용하여
고리의 다이어그램 을 변행해도 간이 고리수의 값이 변하지 않는다.
평면의 동위 변형에 의해 각 교점의 상하 정보는 변하지 않는다.
라이데마이스터 변형Ⅰ은 어느 한쪽의 성분에 교점을 새로 만들거나
삭제하는 조작이므로 교점수에는 영향을 주지 않는다.
라이데마이스터 변형Ⅱ에 한가지 색으로만 칠해진 호만 있다면
계산할 필요가 없는 교점이므로 간이 고리수를 바꾸지 않는다.
라이데마이스터 변형Ⅲ을 수행하면 간이 고리수가 2성분 고리의 불변량임을 알 수 있다.
3채색 가능성이 고리의 불변량임을 증명하기 위해서는,
한 다이어그램이 3채색 가능이라면 다른 다이어그램도 3채색 가능이라고 말하면 된다.
3채색 가능의 조건을 만족하도록 칠해져 있는 다이어 그램에 대해
라이데마이스터 변형Ⅰ을 수행하여 얻은 다이어그램도 3채색 가능하다.
3채색 가능의 조건을 만족하도록 칠해져 있는 다이어 그램에 대해
라이데마이스터 변형Ⅱ를 수행하여 얻은 다이어그램도 3채색 가능하다.
3채색 가능의 조건을 만족하도록 칠해져 있는 다이어 그램에 대해
라이데마이스터 변형Ⅲ을 수행하여 얻은 다이어그램도 3채색 가능하다.
3채색 가능성은 고리의 불변량임을 알 수 있다.
13장 고리를 풀자 에서는
교차 교환은 매듭의 다이어그램 교점의 위아래를 바꾸는 조작이다.
매듭 다이어그램은 한 번의 교차 교환으로는 자명 매듭의 다이어그램이 될 수 없다.
어떤 매듭의 다이어그램도 몇 개 교점의 위아래를 바꾸면
자명 매듭의 다이어그램을 만들 수 있다.
주어진 매듭의 다이어그램 을 자명 매듭의 다이어그램 으로 만들기 위해
교차 교환을 실시하는 교점의 최소 개수로부터 매듭의 유용한 정보를 얻을 수는 없다.
매듭 풀림수는 교차 교환으로 자명 매듭의 다이어그램 이 되기 위해 필요한
교점의 최소 개수 중 가장 작은 값으로 매듭의 불변량이 된다.
교점의 상하 정보를 부여한 투영도는 자명 고리의 다이어그램 이 된다.
매듭 풀림수의 개념은 고리로도 확장할 수 있다.
교차 교환이 다이어그램 이 나타내는 고리를 변경시켜도 불변량의 값은
변경시키지 않을 수 있다.
간이 고리수를 구하기 위해 계산하는 것은 다른 성분으로 구성된 교점만이므로,
같은 성분상의 교점의 위아래를 어떻게 바꿔도 간이 고리수의 값에는
영향을 미치지 않는다.
간이 고리수는 고리의 불변량이므로, 공간 내에서 고리를 변형한 후
다이어그램을 구해도 같은 값이 된다.
'매듭 이론"은 매듭과 고리에 숨겨진 수학 원리를 다룬다.
매듭, knot는 매듭이나 매듭을 묶다를 의미하는 용어다.
묶여 있다는 판단은 사람마다 다르기 때문에
명확히 하기 위해서는 통일된 기준이 필요하다.
언제 누가 하더라도 단순화하여 그릴 수 있도록 규칙을 정해 둘 필요가 있다.
매듭은 하나의 끈을 묶고 끈의 양 끝을 연결하여 닫은 것을 의미한다.
묶이지 않은 고리를 수학에서는 매듭으로 간주한다.
고리에 포합된 매듭 하나하나를 고리의 성분이라고 하며,
고리의 성분이 n개일 때 n성분 고리라고 한다.
두 고리가 동일하다는 것은 한쪽을 3차원 공간 내에서 연속적으로
변형시켜 또 다른 쪽으로 변형시킬 수 있는 것을 말한다.
고리의 투영도란 조건을 만족하도록 그려진 고리의 그림자다.
고리 투영도의 교점에 상하 정보를 제공한 것을
고리의 다이어그램 이라고 부른다.
무의미한 교점은 쉽게 제거할 수 있는 교점이다.
기약 다이어그램 은 무의미한 교점을 갖지 않는 고리의 다이어그램 이다.
공간 내에서 연속적으로 변형되어 서로 일치하지 않는 고리는 다른 고리이지만,
고리가 다른 것을 나타내는 것은 어려운 일이다.
분리 가능한 고리는 각 성분이 서로 얽혀있는 것처럼 보이지만,
변형을 통해 포함된 고리끼리 서로 얽히지 않는 두 그룹으로 분리할 수 있다.
분리 평면은 공간 내의 평면이 고리를 여러 개의 고리로 나누게 할 수 있다.
두 성분을 나누는 평면에 평행한 평행면을 얻을 수 있으면 분리 가능한 고리임을 알 수 있다.
거울에 비친 고리를 실제 공간 내에 있는 고리로 간주한 것을
원래 고리의 거울상이라고 부른다.
고리 다이어그램 의 교점 위아래를 모두 바꿔서 얻어진 다이어그램이
나타내는 고리는 고리의 거울상 다이어그램 이 된다.
매듭이 양손형임을 증명하기 위해서는 거울상과 같은 모양을
만들 수 있는 것을 증명해야 한다.
평면 그래프 는 평면 위에 몇 개의 점을 그리고 점들 사이를 연결하는
선을 끝점 이외에는 교차하지 않도록 그려서 얻을 수 있는 도형이다.
그래프 를 구성하는 점을 정점이라고 하고, 양 끝점을 포함한 선을 변이라 한다.
정점에서 나오는 변의 개수를 차수라고 한다.
정점의 차수는 정점을 끝점으로 하는 변의 수와 반드시 일치하지 않는다.
그래프 의 면은 평면을 여러 영역으로 분할한 영역 하나하나다.
끝없이 퍼져나가는 무한면은 단 하나 뿐이다.
연결 그래프 는 그래프상의 어느 정점에서 시작해도
변을 따라 원하는 정점까지 도달할 수 있는 그래프 이다.
비연결 그래프 는 연결 그래프 가 아닌 그래프 다.
연결 그래프 에 대해서는 오일러 공식이 성립한다.
같다라는 단어는 모호하므로, 무엇을 기준으로 같다는 것을
명확하게 약속해야 한다.
합동인 두 도형은 한 도형을 움직여 다른 도형에 꼭 맞게 겹칠 수 있다.
평면의 동위 변형은 도형을 평면이라는 형상을 유지한 채로
두 도형을 늘리거나 줄여서 변형하면서 똑같은 모양으로 만들 수 있다.
도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.
고리의 다이어그램은 평면의 동위 변형에 의해 변형이 가능하다.
동위는 두 도형의 한쪽을 동위 변형으로 변형하여,
다른 한쪽과 똑같은 모양으로 만들 수 있다.
선분은 동위 변형으로 축소할 수는 있지만 한 점으로 뭉쳐질 수는 없다.
도형의 동위 변형은 도형의 모양을 크게 변화시킨다.
도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.
약속은 매듭 이론을 연구하는 데 있어 사용하기 쉬운 것이어야 의미가 있다.
완전히 겹칠 수 있는 다이어그램 이나 평면의 동위 변형에 의해
서로 이동하는 다이어그램 도 같은 다이어그램 이라고 약속한다.
동위 변형은 전체를 늘리거나 줄이는 변형만을 의미하는 것은 아니다.
평면의 일부를 줄이거나 늘리는 변형도 동위 변형이다.
평면의 동위 변형에 의해 서로 이동하지 않는 것을 나타낼 수 있다.
고리의 복잡도는 다이어그램 을 사용하여 정의된다.
매듭의 복잡도를 비교하려면 가능한 한 교점이 적은
다이어그램 을 생각해야만 의미가 있다.
최소 교점수를 실현하는 다이어그램 의 교점수를
고리의 최소 교점수라고 부른다.
주어진 고리가 교점의 수가 n인 다이어그램 을 가진다면,
고리의 최소 고점수는 n 이하임을 알 수 있다.
매듭 다이어그램 이 기약 다이어그램 인지 아닌지는
다이어그램 을 보면 판단할 수 있다.
기약이 아닌 다이어그램 이 교대 다이어그램 이었다면,
기약 다이어그램 이 되도록 교점을 줄여도 교대 다이어그램 의 특성을 유지한다.
공간 내의 고리를 변형하는 것도 중요하지만,
고리의 다이어그램 을 변형하는 것이 중요하다.
동위 변형으로 이동하지 않는 다이어그램 을 관계짓기 위해서는
라이데마이스터 변형이라고 불리는 세 가지 변형이 있으면 충분하다.
라이데마이스터 변형은 동그라미로 둘러싸인 고리 다이어그램 일부를
다른 한쪽으로 대체하는 조작이다.
불변량이란 변하지 않는 양을 말한다.
불변량을 다루는 수학적 대상에 대해 생각할 때는
언제 같은 것으로 간주할 것인가를 정해야 한다.
똑같다고 간주하는 기준을 바꾸면 불변량이었던 것이
불변량이 아닐 수도 있다는 것을 알 수 있다.
고리 다이어그램 의 연결 성분수는 고리의 불변량이 아니다.
고리의 불변량은 고리의 다이어그램 에 관한 값이
평면의 동위 변형으로 변화하지 않는 것이다.
간이 고리수 등의 불변량을 구할 때는 다이어그램 을 잘 살펴보고,
줄일 수 있는 교점이 존재하는지 찾아보는 것이 좋다.
고리의 3채색 가능성은 채색된 다이어그램 이 채색 조건을 만족하고,
다이어그램의 호가 모두 같은 색으로 칠해여 있지 않아야 한다는
두 가지 조건을 만족하면서 3색으로 칠할 수 없을 때를 말한다.
3채색 가능성은 고리를 3차색 가능한 고리와 불가능한 고리의
두 그룹으로 나뉘는 불변량으로 볼 수 있다.
간이 고리수의 불변량 증명을 위해서 중요한 역할을 하는 것이
라이데마이스터 정리이다.
라이데마이스터 변형Ⅰ은 어느 한쪽의 성분에 교점을 새로 만들거나
삭제하는 조작이므로 교점수에는 영향을 주지 않는다.
라이데마이스터 변형Ⅱ에 한가지 색으로만 칠해진 호만 있다면
계산할 필요가 없는 교점이므로 간이 고리수를 바꾸지 않는다.
라이데마이스터 변형Ⅲ을 수행하면 간이 고리수가 2성분 고리의 불변량임을 알 수 있다.
교차 교환은 매듭의 다이어그램 교점의 위아래를 바꾸는 조작이다.
매듭 다이어그램은 한 번의 교차 교환으로는 자명 매듭의 다이어그램이 될 수 없다.
어떤 매듭의 다이어그램도 몇 개 교점의 위아래를 바꾸면
자명 매듭의 다이어그램을 만들 수 있다.
간이 고리수를 구하기 위해 계산하는 것은 다른 성분으로 구성된 교점만이므로,
같은 성분상의 교점의 위아래를 어떻게 바꿔도 간이 고리수의 값에는
영향을 미치지 않는다.
간이 고리수는 고리의 불변량이므로, 공간 내에서 고리를 변형한 후
다이어그램을 구해도 같은 값이 된다.
매듭은 일상 생활에 많이 사용한다.
단순한 매듭에도 수학적 원리가 담겨 있다.
'매듭 이론"에서는 매듭에 담겨진 수학적 원리를 탐구한다.
매듭에 담긴 수학적 원리를 그림을 통해 살펴보면서,
복잡한 수학 이론에 쉽게 이해할 수 있다.
자명 매듭, 슬립 매듭, 옭 매듭, 구슬 매듭, 마디 매듭, 8자 매듭,
부둣가 매듭, 맞매듭(스퀘어 매듭), 세로 매듭(그래니 매듭),
트위스트 매듭, 프라임 매듭, 보로메오 고리, 브루니안 고리
등 다양한 매듭을 소개한다.
고리의 분리 가능성 판단, 거울상의 다이어그램,
오일러 공식을 이용한 연결 증명,
동위 변형을 이용한 고리의 동일성 증명,
매듭의 최소 교점수, 고리와 다이어그램 의 불변량,
간이 고리수, 고리의 3채색 가능성, 간이 고리수의 불변성 증명
등 매듭과 고리에 대한 다양한 수학 이론을 학습하면서,
단순한 매듭에 담겨진 수학적 의미를 이해하고,
수학을 다양한 매듭에 적용하는 방법을 이해하면서,
수학적 사고를 확장하게 된다.
매듭은 복잡한 구조의 메커니즘 을 구현할 수 있다.
매듭의 기하학적 특성을 이용한 패턴 과 디자인을 만들고,
새로운 물질과 구조를 개발할 수 있다.
매듭의 원리는 수학적 이론에 그치는 것이 아니라,
세상을 바꿀 엄청난 잠재력이 있다.
'매듭 이론"은 매듭과 고리를 그림을 통해 분석하면서,
다양한 수학 이론과 연결하면서 수학적 의미를 이해하고,
다양한 연습문제를 통해 증명한다.
수학이 매듭에 적용되는 과정을 이해하게 되면서,
수학적 사고를 가지고, 수학에 대한 흥미를 갖게 한다.
'매듭 이론"은 매듭과 수학의 관계를 학습하면서,
복잡한 수학 이론을 직관적으로 이해할 수 있으며,
창의적 사고력을 키울 수 있도록 돕는다.
성안당 과 컬처블룸 서평단에서 "매듭 이론"을 증정해주셨다.
감사드린다.
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